Hareket İmkansızdır, Zeno Paradoksu ve Bilinmeyen Yönleri

2.170 Views

Zeno Paradoksları yüzyıllar boyunca bilim insanları ve düşünrler tarafından tartışagelmiştir. Peki ama insan neden durduk yere paradoks üretsin? Hadi şimdi bu tartışmalara neden olan şahsı ve onun paradokslarına bir göz atalım. Elealı Zenon (veya Zeno), M.Ö. yaklaşık 495-430 yılları arasında İtalya’da yaşamış bir Antik Yunan filozofudur ve Elea okulunun, önemli filozofları arasında yer almıştır. Zeno felsefeye önemli paradokslar kazandırmıştır. Arşimet, Aristoteles, Thomas Aquinas, Bertrand Russell gibi filozoflar Zeno’nun paradokslarına çeşitli çözümler üretmişlerdir. Bazı matematikçiler Zeno’nun paradokslarını matematik problemleri olarak görmüş ve paradoksun modern kalkülüs sayesinde çözülebileceğini öne sürmüşlerdir.

Zeno’nun en ünlü paradokslarından biri Aşil paradoksudur (Akhilleus ve Kaplumbağa paradoksu). Bu paradoksa göre dünyanın en hızlı savaşçısı Aşil, bir kaplumbağa ile koşu müsabakasına girer. Yarışı kazanacağından emin olan Aşil, kaplumbağaya ileriden başlama hakkı verir. Yarış başladığında Aşil kaplumbağanın başladığı yere kadar koşar ancak kaplumbağa başladığı yerden ilerlemiştir. Aşil tekrar koşar, kaplumbağa tekrar ilerler ve sonsuza kadar böyle devam eder. Aşil kaplumbağaya ne kadar yaklaşırsa yaklaşsın, her zaman arada kısa bir mesafe olacaktır. Ancak gerçek hayatta Aşil’in (veya herhangi bir koşucunun) bir kaplumbağayı rahatlıkla yendiğini görebiliriz. 

Hocası Parmenides’in hareketin imkansızlığı tezini kanıtlamak isteyen Zeno; bu durumu, yani gerçek hayatta böyle bir durum olmamasına rağmen düşüncede bir paradoks olarak karşımıza çıkmasını, sonsuz bir mesafenin sınırlı bir süre içerisine sığdırılamayacağı ve hareketin bir illüzyon olması ile açıklar.

Örneğin Aşil v1=10 m/s , kaplumbağa ise v2=m/s sabit hızlarına sahip olsunlar. Kaplumbağaya 10 metre avans verildiğini varsayarsak, ilk 1 saniye sonunda Aşil, kaplumbağanın başladığı noktaya ulaşmış olacaktır. Ancak yarış burada bitmez. Aşil, 10 m’ye vardığında kaplumbağa da 5 kadar ilerlemiş olur. Ardından Aşil 5 metreyi 0.5 saniyede koşacaktır, kaplumbağa 0.5 saniyede 2,5 metre ilerler. Ve paradoks böyle devam eder.

Zeno’nun bu paradoksuna matematiksel bir çözüm üretilebilir. Burada görülen sorun, sonsuz sayıdaki terimin toplamının sonsuz olacağı düşüncesidir. Ancak durum böyle değildir. Bu şekildeki diziler geometrik dizi olarak adlandırılır. Bizim dizimizdeki terimler (geçen süre) 1, 0.5, 0,25, 0,125.. şeklindedir. Bu terimlerin toplamı,

bağıntısı ile bulunur. Buradan n sonsuza giderken,

sonucuna ulaşılır. Yani Aşil, matematiksel olarak gerçekten de kaplumbağayı yener hem de 2. saniye sonunda! Aşil paradoksunun felsefi yönü hâlâ tartışılsa da, matematiksel çözümü bu şekilde gösterilebilir.

Zeno’nun paradoksları birçok filozof ve bilim insanını etkilemiştir.  20. yüzyılda bile, kuantum fiziğindeki gelişmelerde Zeno’nun ve paradokslarının adı geçmektedir. Filozoflar ve matematikçiler hala Zeno’nun paradokslarıyla uğraşmaktadırlar.

Zeno kapı örneği vererek mesafesi kapıya kadar olan herhangi bir hareketin ya da eylemin sahibinin kapıya varamayacağını söyler. Çünkü kapıya varmadan önce yolun yarısını gitmesi gerekir, daha sonra yarısının yarısını, daha sonra yarısının yarısını… Böylelikle Zeno o kişinin kapıya hiçbir zaman ulaşamayacağını savunur. Yani bu bir döngü içerisinde sonsuza kadar devam eder, ama bu gerçekten mümkün müdür? Yani hareket gerçekten imkansız mıdır yoksa bu matematiksel bir paradoks mudur?

Gelelim ok meselesine… Zeno’nun bir diğer paradoksu da yayından çıkmış ok örneğidir. Hepinizin de bildiği gibi ok yaydan çıktığı anda okun hareketsiz kaldığı bir an vardır. Zeno’ya göre, eğer böyle bir an varsa ok bütün anlarda hareketsizdir ve hiçbir zaman hareket etmez. Zeno bu işe baya kafa yormuş olsa gerek…



Şekil 1 Zeno’ya göre, eğer böyle bir an varsa ok bütün anlarda hareketsizdir ve hiçbir zaman hareket etmez.


Gelelim ünlü matematikçi Arşimet’e… Evet, kat edilen mesafeye oranla zaman da daralır fakat bu sonsuza kadar devam eder mi? Yani bu bir sayının sonsuza dek bölünebilmesi gibi midir acaba? Sorunun cevabını siz de merak ediyorsunuz ancak sizden önce bu paradoks üzerine kafa yoran bilim insanları olmuş. Bunlardan birisi de matematik dünyasının dâhilerinden sayılan ünlü Arşimet. Arşimet, düzgün olmayan bir şeklin alanını hesaplamak için bulmuş olduğu yöntemle gittikçe azalan kesirlerin toplamının sonlu bir sayı olduğunu kanıtlamıştır. 

Örneğin;

Bir kenar uzunluğu 1 metre olan bir kare düşünelim. Bu kareyi ilk önce yarıya, daha sonra dörtte birine olacak şekilde bölersek bu şekilde sonsuza kadar devam edebiliriz. Bu örnek şu şekilde matematiğe dökülebilir; 1/2+1/4+ 1/8+1/16+1/32… Sonsuz şekilde bölünebilir fakat karenin alanı aynı kalır.





Şekil: 2 Eni ve boyu 1 metre olan kare örneği sonsuza kadar bölünebilir fakat karenin alanın aynı kalır.

Yakın geçmişimizden ünlü Alman matematikçi Hermann Weyl ise bu paradoksu çözmek için şöyle bir yol izlemiştir; ona göre birbirinden farklı iki nokta arasında her zaman bir başka nokta olduğunu fikrini reddedersek problem çözülmüş olur. Yani Weyl’in çözümüne göre süreksiz sonsuz bir evren yerine süreksiz kesintili bir evrende yaşamaktayız.

Herman’ın çözümünü ele alarak bir örnekle somutlaştırmaya çalışalım; İki kişi düşünelim, biri A diğeri B olsun. A kişisi, B noktasında bekleyen kişinin yanına gidecektir. Yalnız B kişisine varmak için sürekli gittiği yolun yarısını kat etmek zorundadır. Sizce A kişisi B kişisine ne zaman ulaşır?

Şekil 3

Weyl’in çözümü göz önüne alınarak bir matematikçi açısından bakıldığında seriler sonsuz olarak devam ettiği için A kişisi hiçbir zaman B kişisine ulaşamaz, bir fizikçi açısından bakıldığındaysa ancak zaman sonsuza eşitlenirse ulaşabileceğini söyler. O zaman iyi ki Zeno bu paradoksları ortaya atmış diyebilir miyiz? 2500 yıl önceden günümüze kadar gelen bu paradoksları tartışıyor olabilmemiz ve bunların bir çok alanda zamanlar arası köprü görevi görmesi oldukça değerlidir. Paradokslar sadece bununla da kalmayarak çoğu uzay ve sonsuzluk  teorilerinin temellerini oluşturmuştur. Bu bağlamda yaşlı Zeno çağının üstünde yaptığı gözlemleme ile bilim dünyasına karmaşık da  olsa güzel bir bilimsel argüman kazandırmıştır.(Bertrant Russell)

KAYNAKÇA

http://philsci-archive.pitt.edu/1197/1/Zeno_s_Paradoxes_-_A_Timely_Solution.pdf

http://philsci-archive-dev.library.pitt.edu/2304/1/zeno_maths_review_metaphysics_alba_papa_grimaldi.pd

Tagged , , ,

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.